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Cómo resolver ecuaciones logarítmicas: Guía y ejemplo práctico

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Cómo resolver ecuaciones logarítmicas: Guía y ejemplo práctico

Una ecuación logarítmica es aquella en la que la incógnita x aparece afectada por un logaritmo. Para resolverlas, hay que tener en cuenta que tendremos que aplicar las propiedades de los logaritmos, por lo que hay que dominarlas bien.

Éstas son muy sencillas, pero hay que tenerlas siempre presentes: el logaritmo de un producto es igual a la suma de logaritmos y el de un cociente es igual a la diferencia; el logaritmo en base x de x es igual a 1, el logaritmo -en cualquier base- de 1 es siempre igual a cero, y el logaritmo de una potencia es igual a la potencia multiplicada por el logaritmo de la base.

Instrucciones
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    Lo primero que hay que hacer es, si tenemos varios términos con logaritmos, agruparlos. Por ejemplo, si tenemos loga+log⁡(n-x^2 )=m(log⁡(m-x) , hay tres términos con logaritmos que podemos agrupar.

    Como el logaritmo del producto es igual a la suma de logaritmos y viceversa, en el miembro izquierdo de la ecuación podemos agrupar ambos términos, resultando un único logaritmo: log⁡〖a(n-x^2 〗)=m(log⁡(m-x)).

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    Una vez agrupados, analizamos ambos miembros a ver qué propiedades podemos aplicar. En el primero no podemos hacer más, pero en el segundo miembro tenemos m(log⁡(m-x)).

    Como sabemos que el logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base y viceversa, podemos convertirlo en log⁡〖(m-x)〗^m, con lo que la ecuación quedaría log⁡〖a(n-x^2 〗)=log⁡〖〖(m-x)〗^m 〗.

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    Como tenemos dos miembros iguales que son logaritmos, también deben serlo sus valores, es decir, a(n-x^2 )= 〖(m-x)〗^m, con lo que ya tenemos una ecuación simple de grado m que se resuelve normalmente.

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    En las ecuaciones logarítmicas, sin embargo, hay que dar un último paso, que es comprobar las soluciones, ya que no todas son aptas al no existir logaritmos de cero o números negativos. Por ejemplo, si tras resolver la ecuación anterior tenemos las m soluciones repartidas de tal manera que hay Z valores mayores que cero, Y igual a cero y W menores que cero (Z+Y+W=m soluciones, ya que la ecuación era de grado m), sólo nos servirán las Z positivas.

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    Veamos un ejemplo práctico: resolvamos la ecuación 2log⁡x=log⁡〖4+log⁡(x-1).〗

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    En el primer término podemos utilizar la propiedad de que el logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base: 2logx=logx^2.

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    En el segundo término, agrupamos sabiendo que la suma de logaritmos es igual al logaritmo del producto: log⁡4+log(x-1)=log⁡〖(4(x-1)〗). Así, la ecuación queda log⁡〖x^2 〗=log⁡(4(x-1)).

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    Como los logaritmos son iguales, también debe serlo su valor: x^2=4x-4.

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    Ya tenemos una ecuación -en este caso cuadrática- normal. Agrupando y despejando, obtenemos x^2-4x+4=0.

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    Si resolvemos esta ecuación, obtenemos una única solución, x=2. Comprobamos que es entera y positiva, por lo que es válida como solución de la ecuación logarítmica original.

Consejos y Advertencias
  • Reduzca al máximo ambos miembros de la ecuación.
  • Revise siempre la solución final y compruebe que cumple la ecuación original
  • Considere todas las opciones a la hora de aplicar propiedades logarítmicas.
  • Recuerde que los números negativos o el cero no tienen logaritmo, luego nunca son soluciones a la ecuación.
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